L'algèbre A[MS] est donc le A-module libre de base MS, muni de l'unique multiplication de A-algèbre qui prolonge la multiplication du monoïde MS. Il existe beaucoup de manières[5] de noter un polynôme P de A[(Xs)s∈S] : Considérons, pour simplifier, l'anneau des polynômes à n variables A[X1, … , Xn]. /Length 4483 En...), (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à un changement de l'ordre de succession...) est un domaine important de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale,...). Définissons l'anneau A[X1, … , Xn] des polynômes à coefficients dans A en n indéterminées, par récurrence sur n[1] : On vérifie instantanément (par récurrence) que A[X1, … , Xn] ainsi défini : Concrètement, un élément de A[X1, … , Xn] s'écrit comme une somme finie : et chaque Pj s'écrit lui-même comme une somme finie : ou encore, en choisissant un majorant d de m, d0, … , dm et en complétant par des zéros la liste des Pj et des coefficients dans A : On remarque, en examinant la définition ci-dessus, que : Ceci permet de définir l'anneau A[(Xs)s∈S] pour n'importe quel ensemble S (non nécessairement fini ni même dénombrable) comme la réunion (appelée « limite inductive Â») des A[(Xi)i∈I] pour toutes les parties finies I de S. Quelques propriétés élémentaires se déduisent immédiatement de cette définition : Une autre méthode de construction[2],[3],[4] — équivalente au sens où elle définit la même structure — consiste à « calquer Â» le raisonnement utilisé pour les polynômes en une indéterminée, cette fois non pas sur une suite mais sur une famille. /Filter /FlateDecode Si K est un corps commutatif, l'anneau K[X] dispose de deux divisions. Il est...), (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. En conséquence : Si un anneau A est factoriel, A[X] l'est encore. Formes indéterminées Quand on calcule des limites, les formes suivantes sont indéterminées : Formes indéterminées 0×∞ ∞ ∞ 0 0 +∞− ∞ Indéterminations levées par le cours Polynômes… Comment battre de nouveaux records au 200 mètres ? 3 0 obj << %PDF-1.4 1 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR Chapitre VII Polynômes à une indéterminée Dans ce cours, désigne ou un corps commutatif quelconque. stream Dans le cas d'une unique indéterminée, la notion de degré permet d'établir le théorème de la base de Hilbert : si A est noethérien, A[X] l'est aussi. Contrairement aux polynômes homogènes, les polynômes symétriques sont stables par addition et multiplication, et forment un sous-anneau de l'anneau des polynômes. La deuxième est dite selon les puissances croissantes. Le nombre d'indéterminées n'est pas nécessairement fini. Autrement dit, tout monôme unitaire s'écrit de manière unique comme un produit fini de puissances des Xs. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 7 2 Organisation, mode d'emploi Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu en vue d'un usage pratique simple. 1. Il est suivi Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. Il est également possible d'introduire les puissances négatives d'une variable et d'obtenir ainsi un anneau A[X,X − 1] dit de Laurent. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction...), (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...), (En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des anneaux, un anneau euclidien est un type particulier d'anneau commutatif unitaire...), (En algèbre, l'arithmétique des polynômes décrit les propriétés des polynômes qui peuvent se déduire de...), (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie...), (On considère ici des polynômes de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans un corps commutatif . Ces polynômes sont également dits multivariés, par opposition aux polynômes univariés, à une seule variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Polynôme en plusieurs indéterminées Le cas de ces polynômes sera juste évoqué ici car l'anneau A[X, Y] peut tout simplement être considéré comme l'anneau des polynômes de la variable Y à coefficients dans A[X]. D'après la définition par récurrence de A[X1, … ,Xn], on en déduit immédiatement : Ce résultat ne s'étend pas au cas d'un nombre infini d'indéterminées : dans A[(Xn)n∈ℕ], la suite des idéaux (X0, … , Xn) est strictement croissante, et l'anneau ne peut être noethérien. En revanche, la factorialité ne passant pas aux quotients, il existe des corps de nombres (et même des corps quadratiques) dont l'anneau des entiers n'est pas factoriel. On peut construire l'algèbre A[X1, … , Xn] des polynômes en un nombre fini n d'indéterminées par récurrence sur n : c'est l'algèbre des polynômes en une indéterminée Xn, à coefficients dans l'anneau A[X1, … , Xn–1].

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