Notons τ = G(μ, ψ) et ω = ψ(1). Sommes de Gauss La n-ième somme de Gauss est définie par : Gauss a introduit ces sommes à l'occasion de l'une des preuves qu'il a donnée de la loi de réciprocité quadratique. \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, une somme de Gauss est un nombre complexe dont la définition utilise les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini ℤ/pℤ où p désigne un nombre premier impair et ℤ l'ensemble des entiers relatifs. Une erreur s'est produite, veuillez ré-essayer. L'anneau ℤ[ω] contient τ ; calculons alors de deux façons la classe de τq–1 dans l'anneau quotient ℤ[ω]/qℤ[ω]. \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} L'application de Fp* dans H qui à tout élément associe son carré est une application surjective telle que toute image admet exactement deux antécédents ; en conséquence : Or ψ est un caractère non trivial donc — comme dans la démonstration du § « Propriétés » — la somme 1 + P1 + P2 de ses valeurs est nulle, ce qui permet de conclure : Le corollaire du § « Propriétés » termine la démonstration. Droit d'auteur : les textes des articles sont disponibles sous. \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} Elles ont été introduites par le mathématicien Carl Friedrich Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801. L'analyse harmonique permet de nombreux calculs sur les sommes de Gauss ; ce paragraphe propose quelques exemples. La somme de Gauss G(a, b, c) ne dépend que des classes de a et b modulo c. Les sommes de Gauss sont multiplicatives au sens suivant : étant donnés des entiers naturels a, b, c et d tels que pgcd(c, d) = 1, on a G(a, b, cd) = G(ac, b, d)G(ad, b, c). Systèmes linéaires - Méthode de gauss, Mathématiques Sans le savoir encore, Gauss a découvert la formule permettant de calculer la somme … Soient ψ le caractère additif tel que ψ(1) = ω, H le sous-groupe du groupe multiplicatif Fp* composé des résidus quadratiques de Fp*, P1 la somme des valeurs de ψ sur H et P2 la somme des valeurs de ψ sur le complémentaire de H dans Fp*. \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} Elles sont utilisées dans la théorie des polynômes cyclotomiques et possèdent de nombreuses applications.[réf. nécessaire] On peut citer par exemple une démonstration de la loi de réciprocité quadratique. Dans cet article, p désigne un nombre premier impair, Fp le corps fini ℤ/pℤ et Fp* le groupe multiplicatif de ses éléments non nuls. \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} Savoir appliquer la méthode du pivot de Gauss. Cette seconde propriété possède le corollaire immédiat suivant : Si μ(a) désigne le symbole de Legendre (a/p) — égal à 1 si a est un carré dans Fp* et à –1 sinon — alors, pour tout caractère ψ non trivial. En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, une somme de Gauss est un nombre complexe dont la définition utilise les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini ℤ/pℤ où p désigne un nombre premier impair et ℤ l'ensemble des entiers relatifs. Soit ψ un caractère du groupe additif (Fp, +) et χ un caractère du groupe multiplicatif (Fp*, ∙), alors la somme de Gauss associée à χ et ψ est le nombre complexe, ici noté G(χ, ψ) et défini par : En termes de transformée de Fourier, on peut considérer l'application qui à χ associe G(χ−1, ψ) comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à Fp par l'égalité χ(0) = 0 et l'application qui à ψ associe G(χ−1, ψ) comme la transformée de Fourier de la restriction de ψ à Fp*. Plus généralement, Gauss a démontré en 1801 les égalités suivantes au signe près pour tout entier n > 0 : conjecturant alors que même les signes étaient exacts pour ce choix particulier ω = exp(2πi/n), et ce n'est qu'au bout de quatre ans d'efforts incessants qu'il est parvenu à résoudre cette conjecture[1],[2],[3].
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