( On a, Par conséquent, il existe un réel g ( ↦ En SI, on prend toujours des conditions initiales nulles, et donc très souvent on retient que dériver revient à multiplier par p. La transformation de Laplace généralise la transformation de Fourier qui est également utilisée pour résoudre les équations différentielles : contrairement à cette dernière, elle tient compte des conditions initiales et peut ainsi être utilisée en théorie des vibrations mécaniques ou en électricité dans l'étude des régimes forcés sans négliger le régime transitoire. {\displaystyle \left\vert I_{2}\right\vert \leq \varepsilon } ( , ) t (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); En plus de ces fonctions de référence, deux propriétés classiques s’appliquent aux transformées de Laplace. —. {\displaystyle p\in \mathbb {R} } 0 Les hypothèses indiquées sont indispensables, comme le montrent les contre-exemples suivants : Si f → ∞ 0 = R ′ g t . A {\displaystyle p\int _{0}^{+\infty }f(t){\rm {e}}^{-pt}~{\rm {d}}t\rightarrow 0} i } L t {\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {C} } Ainsi : Cette transformation fut introduite pour la première fois sous une forme proche de celle utilisée par Laplace en 1774, dans le cadre de la théorie des probabilités. f p Elles sont dansla tablepour faciliterle travail du calcul manuel de la transformée Υ une fonction image R ( p − p f Cela se traduit dans la TL par un « retard) de a ! α Certaines sources peuvent comporter cette erreur [5]. p g . ( {\displaystyle \beta >\alpha } t Si en revanche f est une fonction usuelle à support positif, 0– est à remplacer partout par 0+. est unique. {\displaystyle t\mapsto tg\left(t\right)} . . 0 {\displaystyle 0
( . Υ − e {\displaystyle p\in \mathbb {R} ,~p>\alpha } ) , il existe > La transformée de Laplace monolatérale n'est valide que pour des fonctions (éventuellement généralisées) à support positif. p est transformées de Laplace Définition : Si f est une fonction causale, on appelle transformée de Laplace de f , la fonction L définie par : La fonction f est appelée originale de la fonction L. On admet que : si une fonction g admet un original f alors cet original p t 0 )
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