&=& \sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor} \frac{1}{2^{n}} \frac{1}{2k-1}\frac{(n+1)! Remarque : en appliquant l’ident… \frac{1}{\binom{n}{k}} = k \operatorname{Beta}(k,n-k+1) = k \int_0^1 (1-x)^{k-1} x^{n-k} \mathrm{d} x Crédit image : cooldesign à FreeDigitalPhotos.net. rev 2020.11.17.38013, The best answers are voted up and rise to the top, Mathematics Stack Exchange works best with JavaScript enabled, Start here for a quick overview of the site, Detailed answers to any questions you might have, Discuss the workings and policies of this site, Learn more about Stack Overflow the company, Learn more about hiring developers or posting ads with us. @Razes : il ne s'agit pas de majorer les coefficients binomiaux  mais de les minorer, on fait la somme des inverses. \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k}}=2\tag{12} Nous allons utiliser une démonstration ensembliste utilisant les dénombrements et cardinalités. \frac1{\binom{n}{k+1}}&=\frac{k+1}{n}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{2}\\ Luzak a dit que ma démo avec la partie entière est inutilement compliquée, je connais que cette façon de faire. Furthermore, there are $n^{1/3}$ terms, so the sum is bounded by $\frac{n^{2/3}}{n(n-n^{1/3})}$. Tu es sur la bonne voie mais il faut faire un cran de plus : et essayer de majorer la somme (majore chaque terme par et la somme par   ). \stackrel{\ast}{=} \sum_{k=1}^n \frac{n+1}{n+1-k} \frac{1}{2^k} @Carpediem Difficilement lisible avec votre syntaxe C'est quoi ces inférieurs stricts ? Par symétrie des coefficients binomiaux on a encore cette inégalité pour k variant de 0 à n-2. En effet, la condition sur les indices i,j>0 et i+j=n se traduit par un seul indice i variant de 0 à n et on remplace j par n-i. What tools are there to investigate why my FICO score would have dropped significantly? $$ $$ What can I do to a 6 month child so she end up smart and have high IQ? \begin{align} What are jazz pianists playing in the background? Simplifier sin(2x) sin(x)pour tout x 6˘0[…]. MathJax reference. What are these shiny wrist plates worn by astronauts in the SpaceX crew capsule. pour chercher un majorant Il faut remarquer que. \end{align} $$ 2 \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\binom{n}{k}} \leq 2 + \frac{2}{n} + \frac{2(n-3)}{n(n-1)} \xrightarrow[n\to\infty]{} 2$$ \sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} \end{align} Je trouve que :   est croissante sur En effet : Ce quotient est supérieur ou égal à 1 pour : La fonction est croissante pour tous les entiers compris entre 0 et et on a donc :   Elle est croissante en particulier pour : Ainsi  :   En distinguant les cas pairs et impairs j'ai montré que : Alors :   Conclusion : est bien croissante sur donc à fortiori sur Par ailleurs : Posons : on a alors : On a : Soit Finalement : Et là je bloque pour montrer que est croissante sur, Y a un problème que je ne comprends pas : je trouve  que est donc décroissante sur Soit :   donc :   Je prends : et Donc Donc :   Si n est pair :   Si n impair : Donc : Finalement : Donc : car f est croissante sur Soit : avec est donc décroissante sur. Calculate sums of inverses of binomial coefficients. \sum_{k=0}^n \frac{1}{\binom{n}{k}} = \sum_{k=0}^n \frac{n+1}{n+1-k} \frac{1}{2^k} Au passage, et surtout parce que nous allons l’utiliser ci-après… Un petit mot sur la formule du pion. Bonjour. et : Le produit donne des termes en xn pour les produits des xi et xjavec i+j = n. Donc le coefficient correspondant à C2nnest la somme des coefficients de tous ces termes correspondant à i+j=n. $$ $$, $\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n}{n-k}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)! @Luzak Le problème étant que j'ai toujours pas compris ceci : Les coefficients du binôme vont en croissant pour k allant de 0 à d'où l'inégalité ci dessus pour  k allant de 0 à . }$ Si l'égalité est vrai sur comment montrer qu'elle l'est sur : On sait que :  . Your email address will not be published. [Calcul d’un produit trigonométrique ♪] (ind)Soit a 2]0,…[. Mais l’autre but de cet article est de montrer comment trouver une autre expression de sommes utilisant des coefficients binomiaux par calcul ou par dénombrement. Prenons , c'est quoi le majorant de pour en déduire le majorant de ton expression. 2\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} Si elle  est croissante   tu cherche un majorant ; Si elle est décroissante tu cherche un minorant. Où ai-je dit le contraire ? @Toureissa Je trouve : Je dois calculer les différence pour   à ? Merci de me l'avoir signalé. $$ $$\frac{1}{\binom{n}{k}} \leq \frac{1}{\binom{n}{2}} = \frac{2}{n(n-1)}.$$ Chercher la monotonie de de la suite . It only takes a minute to sign up. \frac1{\binom{n}{k+1}}&=\frac{k+1}{n}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{2}\\ and finally $$ Bonjour Ramanujan, Appliquer le théorème célèbre de la convergence : Toute suite croissante majorée est convergente et toute suite décroissante minorée est convergente. I’ve seen that reversal here at least once before. Stack Exchange network consists of 176 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. $$ \frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}}&=\frac{n-k}{n}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{1}\\ Maintenant je voudrais que tu termines le calcul de la limite de la suite initiale. I got lost at the moment when the sum on $k\leqslant\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor$ becomes a sum on $k\leqslant n$ (last equality before, @did I have updated the answer.

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